解题思路：（Ⅰ）由f'（x）=3ax2+2x+b得g（x）=fax2+（3a+1）x2+（b+2）x+b，再由函数g（x）是奇函数，由g（-x）=-g（x），利用待系数法求解．
（2）由（1）知
g(x)＝−
1
3
x
2
+2x
，再求导g'（x）=-x2+2，由g'（x）≥0求得增区间，由g'（x）≤0求得减区间；求最值时从极值和端点值中取．
（1）由题意得f'（x）=3ax2+2x+b
因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b
因为函数g（x）是奇函数，所以g（-x）=-g（x），
即对任意实数x，有a（-x）3+（3a+1）（-x）2+（b+2）（-x）+b=-[ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b]
从而3a+1=0，b=0，
解得a＝−
1
3，b＝0，因此f（x）的解析表达式为f(x)＝−
1
3x3+x2．
（2）由（Ⅰ）知g(x)＝−
1
3x3+2x，
所以g'（x）=-x2+2，令g'（x）=0
解得x1＝−
2，x2＝
2
则当x＜−
2或x＞
2时，g'（x）＜0
从而g（x）在区间(−∞，−
2]，[
2，+∞)上是减函数，
当−
2＜x＜
2时，g′(x)＞0，
从而g（x）在区间[−
2，
2]上是增函数，
由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在x＝1，
2，2时取得，
而g(1)＝
5
3，g(
2)＝
4
2
3，g(2)＝
4
3，
因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为g(
2)＝
4
2
3，最小值为g(2)＝
4
3．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；奇函数．
考点点评： 本题主要考查构造新函数，用导数研究函数的单调性和求函数的最值．