已知函数f（x）=x2+bx+c（b≥2，c∈R） - 知识问答

已知函数f（x）=x2+bx+c（b≥2，c∈R），若f（x）的定义域为[-1，0]，值域也为[-1，0]．若数列{bn

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解题思路：由已知条件推导出f（x）=x²+2x，
b
n
＝
f(n)
n
3
＝
n
2
+2n
n
3
＞
1
n
，从面得到当n＞2^k时，
T
n
＞
k
2
+1
，由此能求出不存在常数A使T_n＜A对所有n≥2的正整数恒成立．
∵函数f（x）=x²+bx+c（b≥2，c∈R），
f（x）的定义域为[-1，0]，值域也为[-1，0]．
∴
f(0)＝c＝0
f(−1)＝1−b+c＝−1，解得c=0，b=2，
∴f（x）=x²+2x，…（4分）
∵bn＝
f(n)
n3＝
n2+2n
n3＞
1
n，
∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＞1+
1
2+
1
3+…+
1
n，
∵[1/3+
1
4＞2×
1
4＝
1
2]，[1/5+
1
6+
1
7+
1
8＞4×
1
8＝
1
2]，…（8分）[1
2k−1+1+
1
2k−1+2+…+
1
2k＞2k−1×
1
2k＝
1/2]，
故当n＞2^k时，Tn＞
k
2+1，
因此，对任何常数A，设m是不小于A的最小正整数，
则当n＞2^2m-2时，必有Tn＞
点评：
本题考点：数列与不等式的综合．
考点点评：本题考查满足不等式的正常数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．

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