Question

计算曲面积分I=∫∫xzdydz+2zydzdx+3xydxdy，其中∑为曲面z=1-x2-y24（0≤z≤1）的上侧．

Answer 1

解题思路：本题曲面∑不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可．

补充曲面∑₁：

x2+

y2

4＝1

z＝0，取下侧，

则：

I=

∬

∑+∑1xzdydz+2zydzdx+3xydxdy-

∬

∑1xzdydz+2zydzdx+3xydxdy=

∭

Ω(z+3z)dxdydz+

∬

D3xydxdy，

其中，Ω 为∑与∑₁所围成的空间区域，D={（x，y）|x2+

y2

4≤1}为∑₁在xOy面上的投影，

因为D关于x轴对称，3xy关于x为奇函数，

所以：

∬

D3xydxdy=0，

利用垂直于z轴的平行平面去截Ω，所得截面为椭圆：D_z={（x，y）|x2+

y2

4≤1−z}，截面面积为 2π（1-z），

可得：

∭

Ω(z+2z)dxdydz=3

∭

Ωzdxdydz=3

∫ 10zdz

∬

Dzdxdy=3

∫ 10z•2π(1−z)dz=π．

点评：

本题考点： 第二类曲面积分的计算；用高斯公式计算曲面积分．

考点点评： 本题考查了利用高斯公式计算曲面积分的方法．在添加平面∑1时，要注意∑1的方向，使得∑+∑1为所围区域的外侧．在计算∬D3xydxdy时，由于区域D的对称性，利用积分的性质直接可得∬D3xydxdy=0．