设函数f(x)=ex-1-x-ax2.

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  • 解题思路:(1)先对函数f(x)求导,导函数大于0时原函数单调递增,导函数小于0时原函数单调递减.

    (2)根据ex≥1+x可得不等式f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,从而可知当1-2a≥0,即

    a≤

    1

    2

    时,f′(x)≥0判断出函数f(x)的单调性,得到答案.

    (1)a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.

    当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.

    故f(x)在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加

    (II)f′(x)=ex-1-2ax

    由(I)知ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,

    从而当1-2a≥0,即a≤

    1

    2时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,

    于是当x≥0时,f(x)≥0.

    由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).

    从而当a>

    1

    2时,f′(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),

    故当x∈(0,ln2a)时,f'(x)<0,而f(0)=0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)<0.

    综合得a的取值范围为(−∞,

    1

    2].

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题,考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.