解题思路：（1）根据已知条件a＞0，知函数是二次函数，其图象是开口向上的抛物线．因此讨论对称轴：x=[1/a]与区间[1，3]的关系，得到函数的单调性后再找出相应的最值，即可得g（a）的解析式；
（2）通过求导数，讨论其正负，可得到函数g（a）在区间[[1/3]，[1/2]]上单调减，而在（[1/2]，1]上单调增，因此不难得出
g（a）的最小值为g（[1/2]）=[1/2]．
（1）当[1/3]≤a≤[1/2]时N（a）=f（[1/a]），M（a）=f（1），
此时g（a）=f（1）-f（[1/a]）=a+[1/a]-2；
当[1/2]＜a≤1时N（a）=f（[1/a]），M（a）=f（3），
此时g（a）=f（3）-f（[1/a]）=9a+[1/a]-6；
∴g（a）=
a+
1
a−2
1
3≤ a≤
1
2
9a+
1
a−6
1
2＜a≤1…（6分）
（2）当[1/3]≤a≤[1/2]时，∵g（a）=a+[1/a]-2，∴g′（a）=1-[1
a2＜0，
∴g（a）在[
1/3]，[1/2]]上单调递减．
同理可知g（a）在（[1/2]，1]上单调递增
∴g（a）min=g（[1/2]）=[1/2]．…（12分）
点评：
本题考点： 二次函数在闭区间上的最值．
考点点评： 本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，属于基础题．研究二次函数的最值的关键是用其图象，或用导数研究它的单调性．