Question

高数问题（曲线积分）设L是以O（0,0）A（1,0）B（0,1）为顶点的三角形区域的边界,则曲线积分I=∫L（x+y）d

Answer 1

1,沿x轴上0到1的积分,此时y=0,y'=0,积分=∫(1+y'^2)^(1/2)dx=∫xdx=1/2 (x积分下限0上限1）,同理沿y轴的积分也等于1/2,而沿x+y=1的积分,把积分曲线代人得,积分=∫ds=根号2 （被积函数=1的对弧长的曲线积分等于该曲线长度）,所以原积分=1/2+1/2+根号2=1+根号2

2,用极坐标,积分曲线为r=acosθ,则r'=-asinθ,所以积分=∫r(r^2+r'^2)^(1/2)=a^2∫cosθ=2a^2,（θ下限-π/2上限π/2）