Question

已知a∈R,且a≠1,求证：3（a＾4+a＾2+1）〉（1+a+a＾2）＾2

Answer 1

3(a^4+a^2+1)-(1+a+a^2)^2 =3(a^4+a^2+1)-(a^4+2a^3+3a^2+2a+1) =2a^4-2a^3-2a+2 =2a^3(a-1)+2(a-1) =2(a-1)(a^3-1) =2[(a-1)]^2(a^2+a+1) 因为a≠1,所以[(a-1)]^2>0 因为a^2+a+1=(a+1/2)^2+3/4≥3/4 所以2[(a-1)]^2(a^2+a+1)>0 所以3(a^4+a^2+1)-(1+a+a^2)^2>0 3(a^4+a^2+1)>=(1+a+a^2)^2 命题得证