是否存在互不相等的三个数,使它们同时满足三个条件:

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  • 解题思路:假设满足题中三个条件的三个数存在,根据a,b,c成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,再由a+b+c=6,求出b的值,设a,b,c成等差数列的公差为d,用d表示出a,b及c,得到三个数分别为2-d,2,2+d,根据三个数都可能为等比中项,分三种情况考虑:当2为等比中项时,利用等比数列的性质列出关于d的方程,求出方程的解得到d的值,确定出a,b,c三个数,经检验不合题意;当2-d为等比中项,同理求出d的值,确定出a,b及c;当d+2是等比中项,同理求出d的值,确定出a,b,c,综上,得到满足题意的a,b及c的值.

    假设存在这样的三个数,

    ∵a、b、c成等差数列,

    ∴2b=a+c,又a+b+c=6,

    ∴b=2,

    设a=2-d,b=2,c=2+d,

    ①若2为等比中项,则22=(2+d)(2-d),

    ∴d=0,则a=b=c,不符合题意;

    ②若2+d为等比中项,则(2+d)2=2(2-d),

    解得d=0(舍去)或d=-6,

    ∴a=8,b=2,c=-4;

    ③若2-d为等比中项,则(2-d)2=2(2+d),

    解得d=0(舍去)或d=6,

    ∴a=-4,b=2,c=8,

    综上所述,存在这样的三个不相等数,同时满足3个条件,它们是8,2,-4或-4,2,8.

    点评:

    本题考点: 等比数列的性质;等差数列的性质.

    考点点评: 此题考查了等差、等比数列的性质,熟练掌握等差、等比数列的性质是解本题的关键.