Question

（2014•重庆模拟）已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，A

Answer 1

解题思路：（1）欲证BE∥平面A₁FD，只需证平面A₁FD外一直线与平面A₁FD内一直线平行，过E作EG∥AD交A₁D于G，连接GF，根据比例关系可证得四边形BFGE是平行四边形，则BE∥FG，又FG⊂平面A₁FD，BE⊄平面A₁FD，满足定理所需条件；

（2）先证明FB⊥平面AA₁B₁B，从而BF为三棱锥FA₁B₁A的高，然后根据V_{三棱锥A1AB1F}=V_{三棱锥FA1B1A}=[1/3]×S_△AA1B1×BF进行求解即可．

证明：

（1）过E作EG∥AD交A₁D于G，连接GF．

∵[A1E/A1A]=[5/8]，∴[EG/AD]=[5/8]，∴EG=10=BF．

∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG．

∴四边形BFGE是平行四边形．

∴BE∥FG．（4分）

又FG⊂平面A₁FD，BE⊄平面A₁FD，

∴BE∥平面A₁FD．（6分）

（2）∵在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴A₁A⊥BD．

由已知，BD⊥A₁F，AA₁∩A₁F=A₁，

∴BD⊥平面A₁AF．

∴BD⊥AF．（8分）

∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，

∴在Rt△BAD中，tan∠ABD=[AD/AB]=2．

在Rt△ABF中，tan∠BAF=[FB/AB]=[BF/8]．

∵BD⊥AF，∴∠ABD+∠BAF=[π/2]，

∴[BF/8]=[1/2]，BF=4．（10分）

∵在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，∴平面AA₁B₁B⊥平面ABCD，

又平面ABCD∩平面AA₁B₁B=AB，∠ABF=90°，

∴FB⊥平面AA₁B₁B，即BF为三棱锥FA₁B₁A的高．（12分）

∵∠AA₁B₁=90°，AA₁=BB₁=8，A₁B₁=AB=8，

∴S△AA₁B₁=32．

∴V_{三棱锥A1AB1F}=V_{三棱锥FA1B1A}=[1/3]×S_△AA1B1×BF=[128/3]．（14分）

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题主要考查了线面平行的判定，以及锥体体积的计算，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．