解题思路：把路线变成一个圈，避免+1和-1的麻烦，则起点和终点重合，共有15个医疗站，45个值班员，如果有x个饮水站，则恰x与15的最大公约数个饮水站与医疗站重合，值班员的个数即可表示出来，再根据x的取值受限，即可求出答案．
把路线变成一个圈，避免+1和-1的麻烦，则起点和终点重合，共有15个医疗站，45个值班员，
设有x个饮水站，则恰有x与15的最大公约数个饮水站与医疗站重合，
共有15+x-（x与15的最大公约数）个值班员，
也就是说15+x-（x与15的最大公约数）=45，
x-（x与15的最大公约数）=30，
因为x与15的最大公约数是15，
所以x与15的最大公约数可以取1，3，5，15，
相应x分别为31，33，35，45，
因为有医疗站不与饮水站重合，所以45不符合题意，最大是35，
再把起点和终点分开，就是36；
答：最多有36个饮水站．
点评：
本题考点： 重叠问题．
考点点评： 解答此题的关键是，根据题意找出数量关系，利用取值受限，即可解答．