（1）当a=1时，y=g（x）-f（x）=lnx-x 3+3x，
当x=1时，y=ln1-1 3+3×1=2．
y ′ =
1
x -3 x 2 +3 ，y ′| x=1=1．
所以切线方程为y-2=x-1，即x-y+1=0；
（2）∵在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，
∴x 3-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，得 3a≤ x 2 -
lnx
x 在[1，2]上恒成立．
设g（x）= x 2 -
lnx
x ，则 g ′ (x)=2x-
1-lnx
x 2 =
2 x 3 +lnx-1
x 2 ，
∵2x 3-1≥0，lnx≥0，∴g ′（x）≥0，∴g（x） min=g（1）=1，
∴ a≤
1
3 ；
（3）因h（x）=|f（x）|=|x 3-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值．
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，
∴h（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a．
②当a＞0时， f ′ (x)=3 x 2 -3a=3(x+
a )(x-
a ) ，
（ⅰ）当
a ≥1 ，即a≥1时，h（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）当 0＜
a ＜1 ，即0＜a＜1时，f（x）在[0，
a ]上单调递减，在 [
a ，1] 单调递增；
1°当f（1）=1-3a≤0，即
1
3 ≤a＜1 时，
h（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，
a ]上单调递增，在 [
a ，1] 单调递减， F(a)=-f(
a )=2a
a ；
2°当f（1）=1-3a＞0，即 0＜a＜
1
3 时，
（ⅰ）当 -f(
a )≤f(1)=1-3a ，即0＜a ≤
1
4 时，F（a）=f（1）=1-3a．
（ⅱ）当 -f(
a )＞f(1)=1-3a ，即
1
4 ＜a＜
1
3 时， F(a)=-f(
a )=2a
a ．
综上 F(x)=
1-3a，(a≤
1
4 )
2a
a ，(
1
4 ＜a＜1)
3a-1，(a≥1) ．