Question

直线L与圆x^2+y^2=r^2交于A,B两点,P是AB中点,kAB·kOP=-1,对双曲线x^2/a^2-y^2/b^

Answer 1

设两点为A(x1,y1),B(x2,y2)代入到方程中去,得x1^2/a^2-y1^2/b^2=1,x2^2/a^2-y2^2/b^2=1,两式相减得到

（x1^2-x2^2)/a^2-(y1^2-y2^2)/b^2=0,分解得（x1-x2)（x1+x2）/a^2-(y1-y2)(y1+y2)/b^2=0,

由于kOP=(y1+y2)/(x1+x2),而kAB=(y1-y2)/(x1-x2),所以得kABkOP=b^2/a^2,

类似的椭圆中的结论同样可以证明.