解题思路：当Rt△ADP∽Rt△QCP时，[AD/QC]=[DP/CP]；当Rt△ADP∽Rt△PCQ时，[AD/PC]=[DP/QC]；即可求得BQ的长度，即可解题．
当Rt△ADP∽Rt△QCP时，有[AD/QC]=[DP/CP]，
∴BQ=0，
当Rt△ADP∽Rt△PCQ时，[AD/PC]=[DP/QC]，
∴BQ=[3/4]，
故当BQ=0或[3/4]时，三角形ADP与三角形QCP相似，
故答案为：0或[3/4]．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定；正方形的性质．
考点点评： 本题考查了相似三角形的证明，相似三角形对应边相等的性质，本题中讨论[AD/QC]=[DP/CP]或[AD/PC]=[DP/QC]是解题的关键．