Question

如图①，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．

Answer 1

解题思路：（1）连接BE，由圆周角定理可知∠E=∠C，根据等腰三角形的性质可知∠ABC=∠C，所以∠E=∠ABC，再加公共角相等即可证明△ABE∽△ADB，利用相似三角形的性质即可得到AB²=AD•AE；

（2）结论成立，理由同（1）．

证明：（1）连接BE，

∴∠E=∠C，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠E=∠ABC，

∵∠BAE=∠DAB，

∴△ABE∽△ADB，

∴AB：AD=AE：AB，

∴AB²=AD•AE；

（2）D为BC延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立，

理由如下：

连接BE，

∴∠AEB=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠AEB=∠ABC，

∵∠BAE=∠DAB，

∴△ABE∽△ADB，

∴AB：AD=AE：AB，

∴AB²=AD•AE．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理．

考点点评： 本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及圆周角定理，题目的综合性较强，难度中等．