Question

一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程．

Answer 1

解题思路：由于圆O₁：（x+3）²+y²=1，圆O₂：（x-3）²+y²=81，动圆M分别与圆O₁相外切，与圆O₂相内切．故可知动点M到两个定点O₁（-3，0）、O₂（3，0）的距离之和为6，从而轨迹是椭圆，故可求方程；

设M（x，y），动圆M的半径为r（r＞0），

则由题意知|MO₁|=1+r，|MO₂|=9-r，

于是|MO₁|+|MO₂|=10，即动点M到两个定点O₁（-3，0）、O₂（3，0）的距离之和为10．

又因为 10=|MO₁|+|MO₂|＞|O₁O₂|=6，

所以点M在以两定点O₁（-3，0）、O₂（3，0）为焦点，10为长轴长的椭圆上．

设此椭圆的标准方程为

x2

a2+

y2

b2＝1，这里a=5，c=3，

则b²=a²-c²=16．

因此，动圆圆心M所在的曲线方程为

x2

25+

y2

16＝1．

点评：

本题考点： 轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评： 本题以圆与圆的位置关系为依托，考查轨迹方程，轨迹是利用圆与圆的位置关系，得出轨迹是椭圆，从而得解．