Question

设函数f（x）=ax-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．

（2）由f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4），即 x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，由＜0求得t的取值范围．

（3）由f（1）=[3/2]求得a的值，可得 g（x）的解析式，令t=f（x）=2^x-2^-x，可知f（x）=2^x-2^-x为增函数，t≥f（1），令h（t）=t²-2mt+2，（t≥[3/2]），分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值．

（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…（2分）

∴1-（k-1）=0，∴k=2．…（4分）

（2）∵函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），

∵f（1）＜0，∴a-[1/a]＜0，又 a＞0，

∴1＞a＞0．…（6分）

由于y=a^x单调递减，y=a^-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．

不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4）．

∴x²+tx＞x-4，即 x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，…（8分）

∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．…（10分）

（3）∵f（1）=[3/2]，a-[1/a]=[3/2]，即2a²-3a-2=0，∴a=2，或 a=-[1/2]（舍去）．…（12分）

∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．

令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知k=2，故f（x）=2^x-2^-x ，显然是增函数．

∵x≥1，∴t≥f（1）=[3/2]，

令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²（t≥[3/2]）…（15分）

若m≥[3/2]，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2…（16分）

若m＜[3/2]，当t=[3/2]时，h（t）_min=[17/4]-3m=-2，解得m=[25/12]＞[3/2]，舍去…（17分）

综上可知m=2．…（18分）

点评：

本题考点： 指数函数综合题；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，函数的奇偶性的应用，以及函数的恒成立问题，属于中档题．