Question

设A，B都是n阶矩阵，AB=A+B，证明：

Answer 1

解题思路：首先，由AB=A+B，得到（A-E）（B-E）=AB-（A+B）+E=E，证明可逆；然后，由可逆的定义（A-E）（B-E）=（B-E）（A-E）=E，得到AB=BA．

证明：

（1）因为（A-E）（B-E）=AB-（A+B）+E=E，

所以A-E，B-E都可逆．

（2）由（1）知

E＝(A−E)(B−E)

＝(B−E)(A−E)

＝BA−(A+B)+E

所以AB=A+B=BA

点评：

本题考点： 矩阵可逆的充分必要条件．

考点点评： 此题考查通过矩阵方程求解逆矩阵，关键是要通过矩阵方程分离出几个矩阵的乘积．