Question

设n阶方阵A且r(A)=1,则A的特征值为?

Answer 1

(A)=1说明A的一阶以上主子式都为0,只有一阶主子式不为0,接下来求A的特征多项式C(x)：

C(x)=x^n-(一阶主子式之和)x^(n-1)+(二阶主子式之和)x^(n-2)-(三阶主子式之和)x^(n-3)+...

由于一阶以上主子式都是0,所以

C(x)=x^n-(一阶主子式之和)x^(n-1)

=x^n-tr(A)x^(n-1)

其中tr(A)表示A的迹,就是主对角线元素之和.

所以特征值就是C(x)的根,就是n-1个0和一个tr(A)