Question

设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1

Answer 1

证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），

令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），

∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．

∴f（0）=1．

令m=x＜0，n=-x＞0，

则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，

∴f（-x）f（x）=1，

又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，

∴ f(x)=

1

f(-x) ＞1 ．

（2）设x ₁＜x ₂，则x ₁-x ₂＜0，

根据（1）可知 f（x ₁-x ₂）＞1，f（x ₂）＞0．

∵f（x ₁）=f[（x ₁-x ₂）+x ₂]=f（x ₁-x ₂）•f（x ₂）＞f（x ₂），

∴函数f（x）在R上单调递减．