设数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}满 - 知识问答

设数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}满足bn=anan+m(m∈N*)．

1个回答

解题思路：（Ⅰ）先利用当n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1求出数列{a_n} 的通项公式，代入
b
n
＝
a
n
a
n
+m
(m∈
N
*
)
，求出数列{b_n} 的通项公式，再结合b₁，b₂，b₈成等比数列即可求m 的值；
（Ⅱ）先假设存在m 使得b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列，即2b₄=b₁+b_t，代入整理得
t＝7+
36
m−5
，再结合t∈N^*，t≥5即可求出符合题意的m 的个数．
（Ⅰ）因为S_n=n²，所以当n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1 …（3分）
又当n=1 时，a₁=S₁=1，适合上式，所以a_n=2n-1 （n∈N^*）…（4分）
所以bn＝
2n−1
2n−1+m
则b1＝
1
1+m，b2＝
3
3+m，b8＝
15
15+m
由b₂²=b₁b₈，
得(
3
3+m)2＝
1
1+m×
15
15+m
解得m=0 （舍）或m=9
所以m=9 …（7分）
（Ⅱ）假设存在m
使得b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列，即2b₄=b₁+b_t，
则2×
7
7+m＝
1
1+m+
2t−1
2t−1+m
化简得t＝7+
36
m−5 …（12分）
所以当m-5=1，2，3，4，6，9，12，18，36 时，
分别存在t=43，25，19，16，13，11，10，9，8 适合题意，
即存在这样m，且符合题意的m 共有9个 …（14分）
点评：
本题考点：等差数列与等比数列的综合．
考点点评：本题主要考查等差数列和等比数列的综合问题．解决本题的关键在于利用已知前n项和求通项的方法求出数列{an} 的通项公式．

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