解题思路：由a+b+c=0得，（a+1）+（b+2）+（c+3）=6，两边平方得（a+1）2+（b+2）2+（c+3）2+2（a+1）（b+2）+2（a+1）（c+3）+2（b+2）（c+3）=36，再由
1
a+1
+
1
b+2
+
1
c+3
＝0
去分母，得（b+2）（c+3）+（a+1）（c+3）+（a+1）（b+2）=0，代入上式即可．
∵a+b+c=0，
∴（a+1）+（b+2）+（c+3）=6，
两边平方得（a+1）2+（b+2）2+（c+3）2+2[（a+1）（b+2）+（a+1）（c+3）+（b+2）（c+3）]=36，
又由
1
a+1+
1
b+2+
1
c+3＝0去分母，得
（b+2）（c+3）+（a+1）（c+3）+（a+1）（b+2）=0，
∴（a+1）2+（b+2）2+（c+3）2=36．
故答案为：36．
点评：
本题考点： 分式的混合运算．
考点点评： 本题考查了分式的混合运算．关键是将已知等式变形，得出与所求结果相同的结构，采用两边平方的方法求解．