Question

设函数f(x)=3x^2+a/x^3(x∈(o,+∞))求正数a的取值范围,使对于任意x∈(0,+∞)都有f(x)>=2

Answer 1

要使对于任意x∈(0,+∞),都有f(x)≥20,只要f(x)的最小值≥20就可以了.下面来求f(x)的最小值.

f’(x)=6x-3a/x^4 x∈(0,+∞)

令f’(x)≥0以求f(x)的增区间,得6x-3a/x^4≥0,解之得x≥(a/2)^(1/5)

令f’(x)≤0以求f(x)的减区间,得6x-3a/x^4≤0,解之得00时,f(x)在00且a=2m^5,代入上面的不等式得

3m²+2m^5/m³≥20,化简

3m²+2m²≥20,

5m²≥20,结合m≥0解之得m≥2,即

(a/2)^(1/5)≥2,结合a≥0解之得

a≥64