Question

若a,b为正实数,且a,b=1,则S=根号2ab-a平方-b平方的最大值

Answer 1

S=√2ab- a^2- b^2

移向得：S+ a^2+ b^2=√2ab

S+(a+b) ^2-2ab=√2ab

又因为a+b=1,得

S+1-2ab=√2ab

S=2ab+√2ab-1

令√2ab=t 则 S=t^2+t-1=（t+1/2）^2-5/4

因为a、b为正实数,则 a^2+b^2≥2ab

（a+b）^2-2ab≥2ab

则 4ab≤（a+b）^2=1

√ab≤1/2

t≤√2/2

S=（t+1/2）^2-5/4≤（√2/2+1/2）^2-5/4=（√2-1）/2

所以 S 的最大值为（√2-1）/2