已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[m,m+4](其中m∈R)

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  • 解题思路:(1)由题意,f(x)=x2-2x-3,x∈[0,4],借助函数图象即可求得最值;

    (2)讨论区间中点和对称轴的关系,①当m+2≤1,即m≤-1时,可得g(m)=f(m)=m2-2m-3,②当m+2>1,即m>-1时,可得g(m)=f(m+4),

    则g(m)为分段函数,由g(m)的图象即可求得其最小值.

    (1)由题意,f(x)=x2-2x-3,x∈[0,4],

    函数最小值在x=1处取得,f(x)min=f(1)=-4,

    函数最大值在x=4处取得,f(x)max=f(4)=5;

    (2)对称轴为x=1,二次函数开口向上,要求f(x)在[m,m+4]上的最大值,需要讨论区间中点和对称轴的关系,

    区间中点为[m+m+4/2=m+2,

    ①当m+2≤1,即m≤-1时,

    区间[m,m+3]的左端点m距离f(x)的对称轴远,则最大值在x=m处取得,

    即g(m)=f(m)=m2-2m-3,

    ②当m+2>1,即m>-1时,

    区间[m,m+3]右端点m+4离f(x)的对称轴远,则最大值在x=m+4处取得,

    即g(m)=f(m+4)=(m+4)2-2(m+4)-3=m2+6m+5,

    于是g(m)=

    m2−2m−3,m≤−1

    m2+6m+5,m>−1]

    由g(m)的图象可得,g(m)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,

    最小值在m=-1处取得,即g(m)min=g(-1)=0,

    综上所述,g(m)的最小值为0.

    点评:

    本题考点: 二次函数在闭区间上的最值.

    考点点评: 本题考查二次函数在闭区间上的最值问题,注意运用数形结合思想,当区间动对称轴定时要分类讨论,结合图象即可得其最值.