如图,已知A(-3,0),B(0,-4).点P为双曲线y=kx(x>0,k>0)上的任意一点,过点P作PC⊥x轴于点C,

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  • 解题思路:(1)当四边形ABCD为菱形时,由菱形的轴对称性可求C、D两点坐标,又PC⊥x轴,PD⊥y轴,则P、C两点横坐标相等,P、D两点纵坐标相等,可求P点坐标,确定双曲线解析式;

    (2)联立直线与双曲线解析式,求P点坐标,可判断△OAD,△OBC为等腰直角三角形,从而确定四边形ABCD的形状.

    (1)解法一:∵四边形ABCD为菱形,

    ∴OA=OC,OB=OD(1分)

    可得点p的坐标为P(3,4)(3分)

    ∴k=12,即双曲线的解析式为y=

    12

    x(x>0,k>0)(5分)

    解法二:

    由勾股定理可求得菱形的边长为5,所以求得点C、点D的坐标C(3,0)、D(0,4),

    所以点P坐标为P(3,4),下同解(一);

    (2)依题意:联立

    y=

    3

    4x

    y=

    12

    x,

    解得

    x=4

    y=3(x>0),

    即P(4,3)(7分)

    此时,OA=OD=3、OB=OC=4,△OAD,△OBC为等腰直角三角形,

    ∴AD∥BC,(9分)

    又据勾股定理求得AB=CD=5.

    所以四边形ABCD为等腰梯形(10分)

    点评:

    本题考点: 反比例函数综合题.

    考点点评: 本题考查了反比例函数的综合运用.关键是通过坐标系里图形的轴对称性,特殊三角形的性质,求点的坐标,确定双曲线的解析式.