楼上的解法应该是错的,积分区域是单位球内部,而不是正方体!
利用球面坐标进行计算
令 x=h*sint*cosu
y=h*sint*sinu
z=h* cost
于是D'={(h,t,u)| 0≤h≤1,0≤t≤π,0≤u≤2π},且dxdydz=h²sint dhdtdu
于是∫∫∫_D (x^p)(y^q)(z^r) dxdydz
= ∫∫∫D' [h^p] [(sint)^p] [(cosu)^p] [h^q] [(sint)^q] [(sinu)^q] [h^r] [(cost)^r] h²sint dhdtdu
=∫[0,1] h^(p+q+r+2)dh ∫[0,π] [(sint)^(p+q+1)] [(cost)^r] dt ∫[0,2π] [(cosu)^p][(sinu)^q]du
第一个积分∫[0,1] h^(p+q+r+2)dh容易计算
第二个积分∫[0,π] [(sint)^(p+q+1)] [(cost)^r] dt 凑一个sint到dt中,然后整个被积函数全变成cost的表达式,也能积分出来
第三个积分也可以全部变成sinu或者cosu的函数,也可以积分出来
主要是过程太麻烦,打字太累了,所以后面的工作指提了下思路.