Question

如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由已知条件利用射影定理和切割线定理推导出[ED/BD]=[EC/EO]，由此能够证明O，D，B，C四点共圆．

（Ⅱ）连结OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大小．

（Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．

由射影定理得EA²=ED•EO．

由切割线定理得EA²=EB•EC，

∴ED•EO=EB•EC，即[ED/BD]=[EC/EO]，

又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，

∴∠EDB=∠OCE．

∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）

（Ⅱ）连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，

结合（Ⅰ）得：

∠OEC=180°-∠OCB-∠COE

=180°-∠OBC-∠DBE

=180°-∠OBC-（180°-∠DBC）

=∠DBC-∠ODC=20°．

∴∠OEC的大小为20°．…（10分）

点评：

本题考点： 与圆有关的比例线段．

考点点评： 本题考查四点共圆的证明，考查角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意射影定理、切割线定理的合理运用．