Question

已知,如图,等腰△ABC中,AB=AC,角A=100°,∠ABC的平分线交AC于E,试比较AE＋BE与BC的大小

Answer 1

AE＋BE＝BC

在BC上截取BF＝AB,BG＝BE,连接EF,EG

已知：在△ABC中,AB＝AC,∠A＝100°

∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－100°)/2＝40°

∵AC是∠ABC的平分线

∴∠ABE＝∠FBE＝40°/2＝20°

∴在等腰△EBG中,∠BEG＝∠BGE＝(180°－∠EBG)/2＝(180°－20°)/2＝80°

在△FBE和△ABE中,

FB＝AB (作图)

∠FBE＝∠ABE＝20°

BE＝BE (公共)

∴△FBE≌△ABE (SAS)

∴FE＝AE,∠BFE＝∠BAE＝100°

∴∠GFE＝180°－∠BFE°＝80°

在△EFG中,∠EFG＝∠EGF＝80°

∴EF＝EG

在△ECG中,∠CEG＝∠EGF－∠ECG＝80°－40°＝40°＝∠ECG

∴EG＝CG

∴CG＝EG＝EF＝AE

∴BC＝BG＋CG＝BE＋AE

即AE＋BE＝BC,得证