Question

已知a大于0,b大于0,且m,n是正实数,求证：a的（m+n)次方加上b的（m+n)次方的和大于或等于a∧m×b∧n+a

Answer 1

用柯西不等式即可.

证：

(a^(m+n)+b^(m+n)) -（a∧m×b∧n+a∧n×b∧m)=a^m×(a^n-b^n)-b^m×(a^n-b^n)=(a^m-b^m)×(a^n-b^n)

又因为a,b均大于0,且m,n为正实数,故a^m-b^m与a^n-b^n同号,从而上述等式符号大于0,知

(a^(m+n)+b^(m+n)) -（a∧m×b∧n+a∧n×b∧m)>0,得证.