设函数 f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,- π 2 <ϕ< π 2 ) ,有下列论断:

1个回答

  • 由题意可得①③可推②④,下面证明之,

    由③f(x)的最小正周期为π,可得

    ω =π,即ω=2,

    可得f(x)=sin(2x+ϕ),

    又①f(x)的图象关于直线 x=

    π

    12 对称;

    故sin(2×

    π

    12 +ϕ)=±1,即2×

    π

    12 +ϕ= kπ+

    π

    2 ,k∈Z,

    解之可得ϕ= kπ+

    π

    3 ,

    又因为 -

    π

    2 <ϕ<

    π

    2 ,所以ϕ=

    π

    3 ,

    故可得f(x)=sin(2x+

    π

    3 ),

    由于sin(2×

    π

    3 +

    π

    3 )=sinπ=0,故②f(x)的图象关于 (

    π

    3 ,0) 对称,正确;

    由2kπ-

    π

    2 ≤2x+

    π

    3 ≤2kπ+

    π

    2 可得kπ-

    12 ≤x≤kπ+

    π

    12 ,当k=0时,

    单调递增区间为[-

    12 ,

    π

    12 ]⊃ [-

    π

    6 ,0] ,故④在区间 [-

    π

    6 ,0] 上,f(x)为增函数,正确.

    故由①③作为论断可推出②④,

    故答案为:①③,②④