Question

利用单调有界必有极限准则证明下列数列的极限存在并求极限,

Answer 1

x(n+1)=√(6+xn）

1.x1-x2=10-4>0 现设x(n-1)>xn

xn-x(n+1)=√(6+x(n-1))-√(6+xn)

=(x(n-1)-xn)/√(6+xn)+√(6+x(n-1))>0

由数学归纳法,xn>x(n+1),数列单减

2,因为x1>3,设xn>3,x(n+1)=√(6+xn)>√9=3 故xn有下界3

数列单减有下界,极限存在,设为a

在x(n+1)=√(6+xn）两边取极限得：a^2=6+a,解得a=3,a=-2(舍去）