Question

（2013•湖北）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=-18．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，依题意，列出关于其首项a₁与公办q的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）依题意，可求得1-（-2）ⁿ≥2013，对n的奇偶性分类讨论，即可求得答案．

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，显然q≠1，由题意得

a1(1−q4)

1−q+

a1(1−q3)

1−q＝

2a1(1−q2)

1−q

a3

q+a3+qa3＝−18，解得q=-2，a₃=12，

故数列{a_n}的通项公式为a_n=a₃•q^n-3=12×（-2）^n-3=（-

3

2）×（-2）ⁿ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有a_n=（-

3

2）×（-2）ⁿ．若存在正整数n，使得S_n≥2013，则S_n=

3[1−(−2)n]

1−(−2)=1-（-2）ⁿ，即1-（-2）ⁿ≥2013，

当n为偶数时，2ⁿ≤-2012，上式不成立；

当n为奇数时，1+2ⁿ≥2013，即2ⁿ≥2012，则n≥11．

综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}．

点评：

本题考点： 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的求和，考查分类讨论思想与方程思想，考查综合分析与推理运算能力，属于难题．