Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率e＝12．

Answer 1

解题思路：（1）根据椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率

e＝

1

2

，求出a，c，可求b，即可求椭圆C的标准方程；

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程作差，根据斜率公式、中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式即可求得此时直线方程；

（I）由题意设椭圆的标准方程为

x2

a2+

y2

b2＝1(a＞b＞0)，

由已知得：a+c=3，e＝

c

a＝

1

2，…（3分）

∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，

∴椭圆的标准方程为

x2

4+

y2

3＝1…（6分）

（2）．设 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则

x1+x2

2＝1，

y1+y2

2＝

1

2，

由

3x12+4y12＝12

3x22+4y22＝12，作差可得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0…（9分）

∴kAB＝

(y1−y2)

(x1−x2)＝

3(x1+x2)

−4(y1+y2)＝

3×2

−4×1＝−

3

2，

直线l方程y−

1

2＝−

3

2(x

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，凡涉及弦中点问题一般可考虑“平方差”法，即设出弦端点坐标，代入圆锥曲线方程作差，由中点坐标公式及斜率公式可得弦斜率及中点坐标关系．