解题思路：对于A、B、C、D各项逐个加以根据两平面平行的性质得到A错误；根据线面垂直的判定与性质和线面平行、面面平行的性质，得到B、C错误；根据线面垂直面面垂直的性质，再结合空间平行与垂直之间的联系，可得D正确．
对于A，若α∥β，a⊂α，b⊂β，
说明a、b是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；
对于B，若若a⊂α，b⊂β，a∥b，说明在平面α和平面β内各有一条直线相互平行，但是条件并没有指明平面α、β的位置关系，平面α、β也可能相交，故不一定α∥β，故B错；
对于C，若α∩β=a，a∥b，说明直线b∥α或b⊂α或b∥β或b⊂β，再结合线面平行的判定定理，得到b∥α或b∥β，故C正确；
对于D，b若a⊂α，b⊂β，a∩b=P，说明在平面α，β内的两条直线相交于P，只说明P必在平面α和β的交线上，并不能得到α∩β=a或α∩β=b，故D不正确．
故选C．
点评：
本题考点： 平面的基本性质及推论．
考点点评： 本题以空间中直线与平面之间的位置关系为载体，考查了命题的真假判断与应用，本题充分考查了空间想象力和对空间平行与垂直相关定理的掌握，不失为一道好题．