Question

已知函数f(x)＝15x5+x3+4x(x∈R)，数列{an}是等差数列，a3＞0，则f（a1）+f（a3）+f（a5）

Answer 1

解题思路：由函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，f（0）=0，所以当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f（0）＜0．

再由a₁+a₅=2a₃＞0，所以f（a₁）+f（a₅）＞0，f（a₃）＞0，由此知f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）恒为正数．

∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，∴取任何x₂＞x₁，总有f（x₂）＞f（x₁）．

∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，

∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数，

∴当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f（0）＜0．

∵数列{a_n}是等差数列，a₁+a₅=2a₃，a₃＞0，∴a₁+a₅＞0，

则f（a₁）+f（a₅）＞0，∵f（a₃）＞0，

∴f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）恒为正数，

故选A．

点评：

本题考点： 等差数列的性质；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查等差数列的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用函数的性质进行解题，属于中档题．