Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点

Answer 1

解题思路：（1）欲证明：AD⊥D₁F，可通过证明线面垂直得到，故先证AD⊥面DC₁，即可；

（2）欲求AE与D₁F所成的角，必须先找出求AE与D₁F所成的角，利用正方体中平行线，即可知道是∠AHA₁是AE与D₁F所成的角即为所求，最后利用证三角形全等即得．

（3）欲证明：面AED⊥面A₁FD₁．根据面面垂直的判定定理知，只须证明线面垂直：D₁F⊥面AED，即得．

（1）∵AC₁是正方体

∴AD⊥面DC₁，

又D₁F⊂面DC₁，

∴AD⊥D₁F

（2）取AB中点G，连接A₁G，FG，

∵F是CD中点

∴GF

∥

.

.AD又A1D1

∥

.

.AD

∴GF

∥

.

.A1D1∴GFD1A1是平行四边形∴A1G∥D1F设A1G∩AE＝H

则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角

∵E是BB₁的中点∴Rt△A₁AG≌Rt△ABE

∴∠GA₁A=∠GAH∴∠A₁HA=90°即直线AE与D₁F所成角是直角

（3）∵AD⊥D₁F（（1）中已证）

AE⊥D₁F，又AD∩AE=A，∴D₁F⊥面AED，又∵D₁F⊂面A₁FD₁，

∴面AED⊥面A₁FD₁

点评：
本题考点： 异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题主要考查了异面直线及其所成的角、平面与平面垂直的判定，以及空间想象力、转化思想方法，属于中档题．