Question

（2014•宜昌二模）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导出A₁B⊥AB₁，A₁B⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁，由此能够证明

B

1

C

1

⊥

平面ABB₁A

1

．

（Ⅱ）设AB=BB₁=a，CE=x，由余弦定理求出x=

1

2

a

，从而得到DE⊥平面A₁BD，进而得到平面A₁BD⊥平面BDE，由此求出二面角A₁-BD-E的大小为90°．

（Ⅰ）证明：∵AB=BB 1 ，∴四边形ABB₁A₁为正方形，

∴A₁B⊥AB₁，（2分）

又∵AC₁⊥平面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，

∴A₁B⊥面AB₁C₁，∴A₁B⊥B₁C₁，（4分）

又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥B₁C₁，

∴B1C1 ⊥平面ABB₁A 1 ．（5分）

（Ⅱ）设AB=BB₁=a，CE=x，

∵D为AC的中点，且AC₁⊥A₁D，∴A1B＝A1 C1＝

2a，

又∵B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，∴B₁C₁⊥A₁B₁，

∴B₁C₁=a，BE=

a2+x2，A1E＝

2a2+(a−x)2=

3a2+x2−2ax，

在△A₁BE中，由余弦定理得BE²=A₁B²+A₁E²-2A₁B•A₁Ecos45°，

即a2+x2＝2a2+3a2+x2−2ax−2

3a2+x2−2ax

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．