Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n=1，2，3…），数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1

Answer 1

解题思路：（1）①“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”，再利用等比数列的通项公式即可得出；

②在数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．可得b_n+1-b_n=2．再利用等差数列的通项公式即可得出．

（2）再利用“错位相减法”即可得出．

（1）①当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．

∵S_n=2a_n-2，

∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2．

∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，

化为

an

an−1＝2．

∴数列{a_n}是等比数列．

∴an＝a1qn−1=2×2^n-1=2ⁿ．

②数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．

∴b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2．

∴数列{b_n}是等差数列，

∴b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．

（II）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，

∴T_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，

2T_n=1×2²+3×2²+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，

∴-T_n=2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2×

4×(2n−1−1)

2−1−(2n−1)•2n+1

=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，

∴Tn＝(2n−3)•2n+1+6．

由T_n＜55可得（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6＜55，化为（2n-3）•2ⁿ⁺¹＜49．

当n=3时，左边=（2×3-3）×2⁴=48＜49=右边，

而当n=4时，左边=（2×4-3）×2⁵=5×32＞49=右边．

因此满足T_n＜55的最大正整数n=3．

点评：

本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．