设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an-p - 知识问答

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an-p，其中p是不为零的常数．

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解题思路：（1）通过S_n=4a_n-p，利用a_n=S_n-S_n-1，求出
a
n
＝
4
3
a
n−1
，利用等比数列的定义证明数列{a_n}是等比数列；
（2）当p=3时，若数列{b_n}满足b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），b₁=2，推出
b
n+1
−
b
n
＝
(
4
3
)
n−1
，利用b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）++（b_n-b_n-1），求数列{b_n}的通项公式．
证明：（1）证：因为S_n=4a_n-p（n∈N^*），则S_n-1=4a_n-1-p（n∈N^*，n≥2），
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，整理得an＝
4
3an−1．（5分）
由S_n=4a_n-p，令n=1，得a₁=4a₁-p，解得a1＝
p
3．
所以a_n是首项为[p/3]，公比为[4/3]的等比数列．（7分）
（2）因为a₁=1，则an＝(
4
3)n−1，
由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，），得bn+1−bn＝(
4
3)n−1，（9分）
当n≥2时，由累加得b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=2+
1−(
4
3)n−1
1−
4
3＝3(
4
3)n−1−1，
当n=1时，上式也成立．（14分）
点评：
本题考点：数列递推式；等比关系的确定．
考点点评：本题是中档题，考查数列的通项公式的应用，等比数列的证明，注意利用an=Sn-Sn-1时，必须验证n=1的情形，否则容易出错误．

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