Question

f(x)在[a,b]上连续且大于零,试证明方程∫[a,x]f(t)dt+∫[b,x]1/f(t)dt=0有且仅有1个实跟

Answer 1

方向严重有误啊,解方程根本就不能用求导,因为常数的导数为0,加在哪边都可以的.

这种题的正确思路是用连续函数的介值定理,证明过程如下：

f(x)在[a,b]上连续,所以可积

设函数F(x)=∫[a,x]f(t)dt+∫[b,x]1/f(t)dt

则F(a)=∫[b,a]1/f(t)dt=-∫[a,b]1/f(t)dt ＜0 （因为被积函数为正）

F(b)=∫[a,b]f(t)dt ＞0

因F(a)和F(b)异号,所以必然存在c∈(a,b),使得F(c)=0,x=c即为方程的解

另外,设方程有两个解c1和c2,则必然存在c3,介于c1和c2之间,且使得F导（c3）=0

想办法证明这也是个矛盾即可

如还有问题,自己应该能解决了