解题思路：（1）由定义域为R的函数f（x）是奇函数，知f（0）=0．当x＜0时，
f(−x)＝
−x
3
−
2
−x
，由函数f（x）是奇函数，知
f(x)＝
x
3
+
2
−x
，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由
f(1)＝−
5
3
＜f(0)＝0
且f（x）在R上单调，知f（x）在R上单调递减，由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），再由根的差别式能求出实数k的取值范围．
（1）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
f(-x)=
-x
3-2-x，
又∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f(x)=
x
3+2-x，
综上所述f(x)=
x
3-2x(x＞0)
0(x=0)
x
3+2-x(x＜0) ．
（2）∵f(1)=-
5
3＜f(0)=0，
且f（x）在R上单调，
∴f（x）在R上单调递减，
由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，
得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
∵f（x）是奇函数，
∴f（t2-2t）＜f（k-2t2），
又∵f（x）是减函数，
∴t2-2t＞k-2t2
即3t2-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0得k＜-
1
3即为所求．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．
考点点评： 本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，同时注意函数性质的灵活运用．