Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式

Answer 1

解题思路：利用三角换元，即可得出结论．

设x=asinα，y=bcosα，则x+y=

a2+b2sin（α+θ），∴a²+b²≥（x+y）²，即①正确；

（

1

x2+

1

y2）a²b²=（

1

a2sin2α+

1

b2cos2α）a²b²=（sin²α+cos²α）（

b2

sin2α+

a2

cos2α）≥（a+b）²，

∴

1

x2+

1

y2≥（

1/a]+[1/b]）²，即②正确；

4x2y2

a2=4b²sin²αcos²α=b²sin²2α≤b²，即③正确；

设x′=acosβ，y′=bsinβ，∴

xx′

a2+

yy′

b2=sin（α+β）≤1，即④正确．

故答案为：①②③④．

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质；不等式比较大小．

考点点评： 本题考查椭圆方程，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．