设a,b,c是三角形ABC的边长,对任意实数x,f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2有(  )

2个回答

  • 解题思路:根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子,将函数化简为f(x)=b2x2+(2bccosA)x+c2,再根据二次函数的图象与性质加以计算,可得函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴没有公共点,可得本题的答案.

    在△ABC中,根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,

    ∴b2+c2-a2=2bccosA,

    因此函数可化为:f(x)=b2x2+(2bccosA)x+c2

    b2>0

    △=4b2c2cos2A−4b2c2=4b2c2(cos2A−1)<0,

    ∴函数y=f(x)的图象是开口向上的抛物线,且与x轴没有公共点.

    由此可得:对任意实数x,f(x)>0恒成立.

    故选:B

    点评:

    本题考点: 余弦定理;二次函数的性质.

    考点点评: 本题给出与△ABC的三边a、b、c有关的二次函数,研究函数值的取值范围.着重考查了二次函数的图象与性质、余弦定理及其应用等知识,属于中档题.