Question

f(x)=x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1在有理数域、实数域上的不可约多项式乘积

Answer 1

有理数域：

f(x)=(x^10-1)/(x-1)=(x^5-1)(x^5+1)/(x-1)=(x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1).

那两个四次项没法再约了,原因是根都是复数,看了实数域分解就明白了.

实数域：

f(x)=(x+1)(x^2-2cos(pi/5*2)x+1)(x^2-2cos(pi/5*4)x+1)(x^2-2cos(pi/5)x+1)(x^2-2cos(pi/5*3)x+1).

因为f(x)=(x^10-1)/(x-1),x^10-1=0的根都是复数exp(j*2*pi/10*k),一个个列出来再把共轭的那些对儿组合下就可以了.