Question

已知函数f（x）的定义域为R，对于任意实数a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0，f

Answer 1

解题思路：由已知中对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我们可以得到设x=y=0，则f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），进而根据函数奇偶性的定义得到结论f（x）为奇函数，再利用函数单调性的定义由x＞0时，有f（x）＞0，结合对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判断出函数的单调性，进而根据f（2）=-1，得到f（x）在[-6，6]上有最大值和最小值，得到答案．

令a=b=0知f（0）=0，

令a=x，b=-x，则f（x）+f（-x）=0，

∴f（x）为奇函数．

任取两个自变量x₁，x₂且-∞＜x₁＜x₂＜+∞，

则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），

∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0知f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，

故f（x₂）＜f（x₁），

∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．

因此f（x）在[-3，3）上有最大值f（-3），

由于x≠3，则f（3）取不到，无最小值．

由于f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=-6，

故最大值为f（-3）=-f（3）=6．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查的知识点是抽象函数，考查函数奇偶性及单调性与性质及应用，是对函数性质及应用的综合考查．