第一个问题：
令PQ与CD的交点为G.
∵ABCD是矩形,∴QB⊥BC、BC⊥GC,又GQ⊥QB,∴BCGQ是矩形,
∴GQ＝BC、QB＝GC＝n、∠CGP＝90°.
∴由勾股定理,有：CP^2＝GP^2＋GC^2＝（PQ－GQ）^2＋n^2＝（PQ－BC）^2＋n^2.
由切线长定理,有：CP＝BC,∴BC^2＝（PQ－BC）^2＋n^2.······①
∵AB是直径,∴AP⊥BP,又PQ⊥AB.
∴由射影定理,有：PQ^2＝AQ×QB＝mn,∴PQ＝√（mn）.······②
由①、②,得：BC^2＝［√（mn）－BC］^2＝n^2＝mn－2√（mn）BC＋BC^2＋n^2,
∴BC＝（mn＋n^2）/［2√（mn）］.
∵MQ⊥AB、CB⊥AB,∴MQ∥CB,∴△AMQ∽△ACB,∴MQ/BC＝AQ/AB,
∴MQ＝AQ×BC/AB＝m｛（mn＋n^2）/［2√（mn）］｝/（m＋n）＝＝（1/2）√（mn）.
由PQ＝√（mn）、MQ＝（1/2）√（mn）,得：MQ＝PQ/2,∴M是PQ的中点,
∴AC平分PQ于M.
第二个问题：
过E作EH⊥AB交AB于H.
容易证得：BCEH、ADEH都是矩形,∴AH＝DE、CE＝BH、EH＝BC＝AD,∠BCE＝90°.
∵AB是直径,∴AE⊥BE,又EH⊥AB.
∴由射影定理,有：EH^2＝AH×BH,∴BC^2＝DE×CE.
∵ABCD是矩形,∴∠ADF＝∠BCE＝90°、AD＝BE、FE∥AB,∴AF＝BC,
∴Rt△ADF≌Rt△BCE,∴DF＝CE,∵DF＋FE＝CE＋FE,∴DE＝CF.
由BC^2＝DE×CE、DE＝CF,得：BC^2＝CE×CF.
由锐角三角函数定义,有：tan∠EBC＝BC/CE、tan∠FBC＝BC/CF.
∴tan∠EBC＋tan∠FBC＝BC/CE＋BC/CF＝BC（CE＋CF）/CE×CF＝BC（CE＋DE）/BC^2,
∴tan∠EBC＋tan∠FBC＝AB/BC＝（m＋n）/｛（mn＋n^2）/［2√（mn）］｝＝2√（m/n）.
而tan∠EBCtan∠FBC＝（BC/CE）（BC/CF）＝BC^2/（CE×CF）＝1.
∴由韦达定理可知,tan∠EBC、tan∠FBC是下列方程 x^2－2［√（m/n）］x＋1＝0 的两根.
方程 x^2－2［√（m/n）］x＋1＝0 两边同乘以√n,得：（√n）x^2－2（√m）x＋√n＝0.
∴tan∠EBC、tan∠FBC是方程（√n）x^2－2（√m）x＋√n＝0 的两根.