解题思路：先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可．
∵函数f（x）=
1
2sin2x+sinx，
∴f′（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2(cosx+
1
4)2−
9
8]，当cosx=−
1
4时，f′（x）取得最小值−
9
8；当cosx=1时，f′（x）取得最大值2．
且f′（-x）=f′（x）．即f′（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数．
故选C．
点评：
本题考点： 简单复合函数的导数．
考点点评： 熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键．