如图,AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为B、C.

3个回答

  • 解题思路:(1)△ABP∽△PCD得出∠BPA+∠DPC=90°,即∠APD=90°,求出BP的长;

    (2)过D作DE⊥AB于E,根据勾股定理用a、b、c表示出BC的长,再根据(1)的结论得出关于x的方程,利用一元二次方程跟的判别式即可求解.

    (1)存在.

    如图所示,AP⊥PD,

    ∴∠APD=90°,

    ∴∠APB+∠DPC=90°,

    又∵DC⊥BC,

    ∴∠DCP=90°,

    ∴∠PDC+∠DPC=90°,

    ∴∠APB=∠PDC,

    ∵∠B=∠C,

    ∴△ABP∽△PCD,

    设BP=x,则CP=4-x,

    ∴[AB/PC]=[BP/CD],即4:(4-x)=x:1,

    即x(4-x)=4,

    ∴x2-4x+4=0,

    即(x-2)2=0,

    得出x=2,即BP=2;

    (2)过D作DE⊥AB于E,

    易得DC=BE=b,AE=a-b,BC=DE=

    AD2−(AB−CD)2=

    c2−(a−b)2,

    由(1)得△ABP∽△PCD,设PC=x,

    则[x/a]=

    b

    c2−(a−b)2− x,

    化简得方程:x4-(c2-a2-b2)x2+a2b2=0,

    若存在点P,则方程有实数根,

    ∴△=(c2-a2-b22-4a2b2=(c2-a2-b2+2ab)(c2-a2-b2-2ab)=[(c2-(a-b)2][c2-(a+b)2]≥0,

    ∵c>a-b,

    ∴c2-(a+b)2≥0,

    ∴c≥a+b,

    ∴当c≥a+b时,在直线BC上存在点P,使AP⊥PD.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题可以假设存在,根据相似三角形的性质得出比例式,找出P点.