如果设MN边上的高为h的话
MN=h/(tan∠PMN)+h/(tan∠PNM)=3h/2
(这条式最好画图来推导,首先用锐角三角形来理解,然后推广至钝角三角形)
三角形PMN的面积S=MN*h/2=3h^2/4=1
求得h=2/sqrt(3),MN=sqrt(3).(sqrt=根号）
所以椭圆的半焦距c=MN/2=sqrt(3)/2.
再利用几何关系,
由tan∠PMN=1/2求出sin∠PMN=1/sqrt(5),PM=h/(sin∠PMN)=2sqrt(5)/sqrt(3);
由tan∠PNM=-2 求出sin∠PNM=2/sqrt(5),PN=h/(sin∠PNM)=sqrt(5)/sqrt(3);
所以椭圆的长轴2a=PM+PN=sqrt(15),a=sqrt(15)/2
因此b=sqrt(a^2-c^2)=sqrt(3).
以MN中点为原点,直线MN为x轴建立平面直角坐标系,那么椭圆的方程是
x^2/(15/4)+y^2/3=1
或者写成
4x^2+5y^2=15