Question

线性代数 合同的问题n元二次型x^TAx正定的充分必要条件.a,存在正交矩阵P,P^TAP=E c,A与单位矩阵合同d,

Answer 1

记号简明起见, 用P'表示P的转置.

另外以下讨论中的所有矩阵都为实矩阵.

a. "正交矩阵"这个限制太强了, 合同只需要P可逆就够了.

实际上若P是正交矩阵, 有PP' = P'P = E.

于是由P'AP = E可得A = PP'APP' = PEP' = PP' = E.

即只有单位阵满足要求.

c和d其实是等价的:

若A与单位阵合同, 即存在可逆矩阵P, 使P'AP = E.

取C = P^(-1), 则PC = E, C'P' = (PC)' = E' = E.

于是A = C'P'APC = C'EC = C'C.

反过来, 若存在可逆矩阵C使得A = C'C, 取P = C^(-1).

可得P'AP = P'C'CP = (CP)'CP = E, 即A合同于单位阵.

c, d都是A正定的充要条件.